X²+Y²=Z² 의 세변 (X,Y,Z) 로 직각삼각형을 만들며, 이를 피타고라스 정리라고 한다.

X²+Y²=Z² 의 자연수 해를 피타고라스 수 (Pythagorean triplet) 라고 한다.

X²+Y²=Z² 에서 A=Z-Y 과 B=Z-X 일 때, 아래의 식을 얻는다.

X=(2AB)^1/2+A, Y=(2AB)^1/2+B 과 Z=(2AB)^1/2+A+B.

(X,Y,Z) 가 자연수일 때, (A,B) 도 자연수가 됨으로, 위 식의 (X,Y,Z) 는 (2AB)^1/2=k 의 모든 피타고라스 수가 된다.

모든 피타고라스 수는 거듭제곱이 될 수 없음을 다음과 같이 증명한다.

X=(2AB)^1/2+A, Y=(2AB)^1/2+B 과 Z=(2AB)^1/2+A+B 에서 (2AB)^1/2=k 일 때, 자연수 (X,Y,Z) 인 모든 피타고라스 수를 구하였다.

c²=A=Z-Y, 2d²=B=Z-X 과 2cd=k 일 때, X=2cd+c², Y=2cd+2d² 과 Z=2cd+c²+2d² 을 얻는다.

모든 피타고라스 수 (X,Y,Z) 에서 (X,Y), (A,B) 와 (c,d) 가 서로소일 때, (Y또는X) 는 짝수이고, (X또는Y,Z) 는 홀수들이 되며, XY=2cd(c+d)(c+2d) 가 거듭제곱이 될 수가 없음으로, 모든 피타고라스 수는 거듭제곱이 될 수 없는 것이다.

c=e^m, d=2^(m-1)f^m, c+d=e^m+2^(m-1)f^m=s^m 과 c+2d=e^m+(2f)^m=t^m 과 같이, 만약 어떤 이가 XY=2cd(c+d)(c+2d)=(2efst)^m 과 같은 거듭제곱이 될 수도 있을 것으로 추측을 한다면, 이는 잘못된 일이다.

X²+Y²=Z² 에서, X=2cd+c², Y=2cd+2d² 과 Z=2cd+c²+2d² 을 얻었다.

m>1 일 때, e^m+(2f)^m=t^m 에서, (e^m/2)²+{(2f)^m/2}²=(t^m/2)² 을 얻는다.

(e^m/2)²+{(2f)^m/2}²=(t^m/2)² 에서, e^m/2=2gh+g², (2f)^m/2=2gh+2h² 과 t^m/2=2gh+g²+2h² 을 같은 방법으로 얻으며, 이 때g²=t^m/2-(2f)^m/2 이고, 2h²=t^m/2-e^m/2 이다.

(e,f) 과 (g,h) 는 서로 소다.

e^m/2=2gh+g², (2f)^m/2=2gh+2h², t^m/2=2gh+g²+2h², e^m={2gh+g²}², (2f)^m={2gh+2h²}², t^m={2gh+g²+2h²}², e^1/2={2gh+g²}^1/m, (2f)^1/2={2gh+2h² }^1/m 과t^1/2={2gh+g²+2h²}^1/m 은 자연수들이 된다.

(e^m/2)²+{(2f)^m/2}²=(t^m/2)² 에서, u=e^m/2, v=(2f)^m/2 과 w=t^m/2 일 때, 거듭제곱 수인 (u,v,w) 도 피타고라스 수가 되는 것이다.

이상과 같이, 피타고라스 수 (X,Y,Z) 가 거듭제곱이 된다면, 더 작은 거듭제곱 피타고라스 수 (u,v,w) 가 필요하게 된다. 이와 같이 반복될 수는 없기 때문에 모든 피타고라스 수는 거듭제곱이 될 수가 없는 것이다.

(g,h) 가 (1,1) 일 때, (u,v,w) 는 (3,4,5) 가 되고, (c,d) 는 (9,8) 이 된다.

(c,d) 가 (9,8) 일 때, (X,Y,Z) 는 (225,272,323) 이 된다.

(c,d) 를 구한 바와 같이 다음 단계의 (p,q) 를 구하면 (50625,36992) 가 되며, 이 때의 피타고라스 수는 (6308330625,6482256128,9045146753) 이 되는 것이다.