홀수인n>2 에서 X, Y 와 Z 가 서로 소일 때,  X^n/2, Y^n/2 과 Z^n/2 에서 하나 또는 둘은 양의 정수가 되지 못한다. 만약 X^n/2, Y^n/2 과 Z^n/2 모두가 양의 정수가 된다면, 이것은 n 이 짝수라는 의미가 된다. 그러므로, X^n/2, Y^n/2 과 Z^n/2 에서 최소한 한 개는 양의 정수가 되지 못한다.

[예; {(x^2r+1)^2k+1, (y^2s)^2k+1, (z^2t)^2k+1}]

그래서 홀수인n>2 에서 Xⁿ, Yⁿ 과 Zⁿ 은 양의 정수이지만,

{(2ab)^1/2+a}²=[{2(Z^n/2-Y^n/2)(Z^n/2-X^n/2)}^1/2+(Z^n/2-Y^n/2)]²,

{(2ab)^1/2+b}²=[{2(Z^n/2-Y^n/2)(Z^n/2-X^n/2)}^1/2+(Z^n/2-X^n/2)]² 과

{(2ab)^1/2+a+b}²=[{2(Z^n/2-Y^n/2)(Z^n/2-X^n/2)}^1/2+(Z^n/2-Y^n/2)+(Z^n/2-X^n/2)]² 은 정수가 될 수 없다.

홀수인n>2 에서 X, Y 와 Z 가 서로 소일 때, 이와 같은 모순이 생기므로, Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ 은 정수 해를 가질 수 없는 것이다. 다시 말하여 홀수인n>2 에서 모순이 생기며, 짝수인 n 에서는 모순이 생기지 않는다. 그러므로, 짝수인 n 에서 Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ 은 양의 정수 해를 가질 것으로 추정할 수도 있다.

한편, 피타고라스 수는 거듭제곱이 될 수가 없음으로, 짝수인 n 에서도 Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ 은 정수 해를 가질 수가 없다.

이와 같이 Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ 은 정수 해를 가질 수 없음이 증명되는 것이다.

X^n/2=(2ab)^1/2+a, Y^n/2=(2ab)^1/2+b and Z^n/2=(2ab)^1/2+a+b.

Xⁿ={(2ab)^1/2+a}²=[{2(Z^n/2-Y^n/2)(Z^n/2-X^n/2)}^1/2+(Z^n/2-Y^n/2)]² ,

Yⁿ={(2ab)^1/2+b}²=[{2(Z^n/2-Y^n/2)(Z^n/2-X^n/2)}^1/2+(Z^n/2-X^n/2)]² and

Zⁿ={(2ab)^1/2+a+b}²=[{2(Z^n/2-Y^n/2)(Z^n/2-X^n/2)}^1/2+(Z^n/2-Y^n/2)+(Z^n/2-X^n/2)]².

When X, Y and Z are relatively prime in the odd number, n>2, one or two factors of X^n/2, Y^n/2 and Z^n/2 can be the positive integers, but at least one factor of X^n/2, Y^n/2 and Z^n/2 cannot be the integer i.e., if all three factors of X^n/2, Y^n/2 and Z^n/2 can be the positive integers, it means that n is the even number. So, at least one factor of X^n/2, Y^n/2 and Z^n/2 cannot be the integer when X, Y and Z are relatively prime in the odd number, n>2.

[ex.; {(x^2r+1)^2k+1, (y^2s)^2k+1, (z^2t)^2k+1}].

Now, when X, Y and Z are relatively prime in the odd number, n>2, Xⁿ, Yⁿ and Zⁿ are the positive integers,

but {(2ab)^1/2+a}²=[{2(Z^n/2-Y^n/2)(Z^n/2-X^n/2)}^1/2+(Z^n/2-Y^n/2)]²,

{(2ab)^1/2+b}²=[{2(Z^n/2-Y^n/2)(Z^n/2-X^n/2)}^1/2+(Z^n/2-X^n/2)]² and

{(2ab)^1/2+a+b}²=[{2(Z^n/2-Y^n/2)(Z^n/2-X^n/2)}^1/2+(Z^n/2-Y^n/2)+(Z^n/2-X^n/2)]² cannot be the integers.

It is an apparent contradiction because of relatively prime, X, Y and Z in the odd number, n>2. So, Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ cannot have the positive integer solutions in the odd number, n>2. I.e., the contradiction appears in the odd number, n, but the contradiction does not appear in the even number, n.

Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ cannot have the positive integer solutions in the odd number, n>2. Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ may have some positive integer solutions in the even number, n.

But the Pythagorean triples, X, Y and Z cannot be the mth power numbers like x^m, y^m and z^m. So, Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ cannot have the positive integer solutions in the even number, n.

Therefore, Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ cannot have the integer solutions.